AZNPDIFFMETHOD： 数値計算の説明 差分法
Return to Top 数値計算の説明 オイラー法 ルンゲ・クッタ法 差分法 図形表現のページ 参考文献 Last Updated 2002-6/01
数値計算の説明 差分法 数値計算を行う方法には、 オイラー法、ルンゲ・クッタ法、差分法、有限要素法などがあり、計算対象とする 現象を表現する方程式の種類や、必要とする精度等に応じて使い分けます。 偏微分方程式の数値解を求めるためには、ぜひとも承知し、使えるようにしておくことが大事です。 偏微分方程式には、大別すると３種類： ・ラプラス方程式 ∂2u/∂x2+∂2u/∂y2+∂2u/∂z2=0 ヘルムホルツ方程式： ∂2u/∂x2+κ2u=0 ポアソン方程式： ∂2T/∂x2+∂2T/∂y2+∂2T/∂z2=f(x,y,z) 流れ関数φと渦度ζの関係、をポアソン方程式で表現する： ∂2φ/∂x2+∂2φ/∂y2+ζ=0 ・渦度ω=0の流れ(「渦なし流れ」或いは「ポテンシャル流れ」) ∂2φ/∂x2+∂2φ/∂y2=0 ガウスの定理 ∂2φ/∂x2+∂2φ/∂y2+∂2φ/∂z2=-ρ/ε ・振動方程式 ∂2u/∂t2=c2(∂2u/∂x2+∂2u/∂y2+∂2u/∂z2) ・拡散方程式 σρ∂T/∂t=κ(∂2T/∂x2+∂2T/∂y2+∂2T/∂z2) 拡散方程式： ∂C/∂t=D∂2C/∂x2 バーガース方程式 ∂u/∂t+u∂u/∂x=ν∂2u/∂x2 ・移流拡散方程式： 移流速=c(一定）のとき ∂u/∂t+c∂u/∂x=ν∂2u/∂x2 ・拡散方程式： 移流速=c(一定）、かつc=0のとき ∂u/∂t=ν∂2u/∂x2 ・ホップ方程式： 動粘性率 ν<<1 0のとき ∂u/∂t+u∂u/∂x=ν∂2u/∂x2 ・移動流方程式： 動粘性率 ν<<1 0、移流速=c(一定値）のとき ∂u/∂t+c∂u/∂x=0 があります。 ------------------------------------------------------------------------------- p.213 差分方程式に関する入門 微分方程式（はりのたわみの方程式） d2y/dx2=-wx(l-x)/(2EI) この微分方程式は、 中心差分公式を使うことにより、 (yi-1 - 2yi + yi+1)/(Δx)2=-wxi(l-xi)/(2EI) という差分方程式となる。 l=1, w/(2EI)=100, はりは５等分とするとき、 Δx=1/5=0.2となり、 i番目のxは、すなわちxiは、xi=iΔx=0.2i となる。 これらの値より、 yi-1 -2yi+yi+1=-4(0.2i-0.04i2) となる。 そして、 y0-2y1+y2=-0.64 y1-2y2+y3=-0.96 y2-2y3+y4=-0.96 y3-2y4+y5=-0.64 という連立方程式ができる。 はりの両端が固定されているという境界条件 y0=0, y5=0 を上記の 連立方程式に代入すると、 y1,y2,y3,y4 を未知数とする連立４元方程式が得られる。 p.217 この連立方程式は「ガウスの消去法」で解くことができる。 -------------------------------------------------------------------------------
参考文献 //数値計算 //鷹尾「数値計算のはなし」日科技連 //登坂「偏微分方程式の数値シミュレーション」東京大学出版会 //水本「ＦＯＲＴＲＡＮによる数値計算法入門」近代科学社 //山崎「偏微分方程式の数値解法入門」森北出版
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