1.ロジスティック波形★ 軌道を動画表示します。
ロジスティック波形 Xn+1=aXn*（１−Xn）が基礎式です。 ロジスティック関数は（Sigmoid関数とかS字関数と言われます）、気象においては、 ニューラルネットワーク（ＮＲＮ）の情報処理素子としても使われています。 NRNの文献はこちら または、 拙著、「天気図と気象理論」P.131を参照して下さい。 初期値やパラメータをわずかずつ変えて見ると、様々な図形が得られます。 クリックすると計算値や諸条件および画像が表示されます。 Logistic:lg0p9 収束 Logistic:lg2p9 振動＆収束 Logistic:lg3p449 周期振動 Logistic:lg3p55 周期振動 Logistic:lg3p831874055 周期振動 Logistic:lg4 カオス Logistic:lg4p001 カオス＆計算不能
2.エノン写像
エノン写像 Xn+1=1-aXn*Xn+Yn Yn+1=bXn Henon:hn1p42 エノンの写像 ★ 点を順次プロットしていきます。 プロットをＮ＝１２０００程度までに増大して見ました。 Henon:hn1p42 エノンの写像（拡大図） ｎを更に増大すると、もっと細かいところまで見ることができるでしょう。 Ｎ＝64000にしてみました。 Henon:hn1p42 エノンの写像（拡大図） 数式を少し変形したものです。 Henon:hn2p エノンの写像（バリエーション１） ★ 点を順次プロットしていきます。 変形した数式のパラメータを変えて見ました。 Henon:hn0p49 エノンの写像（バリエーション２） 変形した数式のパラメータを変えて見ました。 Henon:hn0p49 エノンの写像（バリエーション２拡大図） Henon:hn0p49 エノンの写像（バリエーション３） パラメータaを連続的に変えて見ました。 Henon:hn1p05vari エノンの写像（ａ−Xに関する周期倍化図付き）
3.周期倍加分岐図
周期倍加分岐図
Xn+1=Xn+a;
Yn+1=Xn*Yn*(1-Yn)
周期倍加
周期倍加（拡大図）
現象は、周期倍分岐する：
ロジスティック写像の周期倍分岐（ａ−Xに関する周期倍化図付き）
エノンの写像の周期倍分岐（ａ−Xに関する周期倍化図付き）
4.ローレンツ★ 沸騰：軌道を動画表示します。 ★ 対流：軌道を動画表示します。 ★ 伝導：軌道を動画表示します。 ★ 初期値鋭敏性・誤差の増大の検討 μを順次変えていった場合の形の変化
ローレンツ（「天気図と気象理論」P.127 に記載あります。） ローレンツモデルは下式で与えられます。 ローレンツがNavier-Stokesの公式をベースとして、対流現象を モデル化した数式です： ∂ｘ／∂ｔ=−γｘ＋γｙ ∂ｙ／∂ｔ＝−ｘｚ＋μｘ−ｙ ∂ｚ／∂ｔ＝ｘｙ−ｂｚ 上の微分方程式は、コンピューターで計算できませんので、 Xn+1=Xn＋（−γXn＋γYn）Δｔ Yn+1＝Yn＋（−XnZn＋μXn−Yn）Δｔ Zn+1＝Zn＋（XnYn−ｂZn）Δｔ の差分の形式に変形します。 方程式のμを順次変えた場合の、Ｘ−Ｚ，Ｘ−Ｙの軌道を示します。 ｎ＝１０００までの計算結果です。 Lorenz:lzμ84p7 ローレンツ Lorenz:lzμ84p6 ローレンツ Lorenz:lzμ71 ローレンツ Lorenz:lzμ49p8 ローレンツ Lorenz:lzμ28 ローレンツ Java-Codingでの図形（点） Lorenz:lzμ18 ローレンツ Lorenz:lzμ15p0351 ローレンツ Lorenz:lzμ10 ローレンツ Lorenz:lzμ7 ローレンツ Lorenz:lzμ4 ローレンツ Lorenz:lzμ0 ローレンツ Lorenz:lzμm28 ローレンツ Lorenz:lzμm92 ローレンツ Lorenz:lzμm92p59 ローレンツ その他： 変形した式： Xn+1=aXn-Xn*Yn Yn+1=b*Yn+Xn*Xn 与えるパラメーターおよび初期値：（一部の図形には、軌道も描図してあります） Lorenz:lz 渦巻き ：a=1.343, b=0.9, c=0, d=0, X0=0.05, Y0=0.05 Lorenz:lz Y軸くっつき ：a=1.49, b=0.99, c=0, d=0, X0=0.1, Y0=0 Lorenz:lz 蜘蛛状渦巻き：a=1.501, b=0, c=0, d=0, X0=0.2, Y0=-0.8 Lorenz:lz 顔のヒゲ ：a=1.59, b=0.6, c=0, d=0, X0=0.1, Y0=-0.01 Lorenz:lz 対称図形 ：a=1.7, b=0.1, c=0, d=0, X0=0.2, Y0=-0.8 Lorenz:lz すかし図 ：a=1.88, b=0, c=0, d=0, X0=0.1, Y0=0
5.レスラー
レスラー ローレンツ系は、アトラクターが２つありますが、 レスラー系のアトラクターは、１つです。 分岐パラメーターμを大きくしていくと、軌道は ２重、４重、８重、１６重と「周期倍化」していきます。 ∂ｘ／∂ｔ＝−Y−Z ∂ｙ／∂ｔ＝X+aY ∂ｚ／∂ｔ＝b＋XZ-μZ 上の微分方程式は、コンピューターで計算できませんので、 Xn+1=Xn−（Yn＋Zn）Δｔ Yn+1＝Yn＋（Xn＋aYn）Δｔ Zn+1＝Zn＋（b+XnZn−μZn）Δｔ の差分の形式に変形します。 (μは、分岐パラメーターと言われます) Rossler：rsab0p2μ3p236 次の図は、周期倍加の筋模様が出ています。 Rossler：rsab0p2μ6p06 Rossler：rsab0p2μ6p06fig（拡大図です） その他の様々なカオスです。 Rossler：rsm6 Rossler：rsm0p1 Rossler：rsab0p2
6.Gumowski & Mira
Gumowski & Mira
Xn+1=Yn+a(１−ｂYn2)Yn＋G（Xn)
Yn+1=-Xn+G(Xn+1)
G(Xn)＝μXn+（2(1-μ)Xn2）/（1+Xn2）
Gumousuki&Mira:gm 周期倍加関数に似ている
Gumousuki&Mira:gm ヒトデに似ている
Gumousuki&Mira:gm ミジンコに似ている
Gumousuki&Mira:gm 渦巻く４つに似ている
Gumousuki&Mira:gm 渦巻きに似ている
Gumousuki&Mira:gm 渦巻きに似ている
Gumousuki&Mira:gm 円に似ている
Gumousuki&Mira:gm 花火に似ている
Gumousuki&Mira:gm 渦巻き状星雲に似ている
Gumousuki&Mira:gm 羽５枚に似ている
===
追加：
Gumousuki&Mira:gm 卍形に似ている
Gumousuki&Mira:gm 魚のエイに似ている
Gumousuki&Mira:gm 周期倍加のなりかけに似ている
Gumousuki&Mira:gm ７角結晶に似ている
Gumousuki&Mira:gm 渦巻きに似ている
Gumousuki&Mira:gm 星団に似ている
Gumousuki&Mira:gm 丸が１０こに似ている
===
変形した式：
Xn+1=aXn+ｂYn+c+d/(1+Xn*Xn)
Yn+1=-Xn
与えるパラメーターおよび初期値：
Gumousuki&Mira:gm 笹の葉：a=-0.32,b=0.9, c=0, d=15,X0=1, Y0=0
Gumousuki&Mira:gm 羽３枚 ：a=-0.9, b=0.96, c=-4,d=5, X0=1, Y0=0
7.Japanese Attractor
７．ジャパニーズアトラクター
dx/dt=y
dy/dt=-ky-x3+Bcost
この微分方程式を差分の形にします；
Xn+1=Xn+Yn*Δｔ
Yn+1=Yn+(-k*Yn-Xn*Xn*Xn+B*cost)*Δｔ
jp:Japanese Attractor
jp:Japanese Attractor（拡大図）
