#02 001-00-003 ［質問名：偏微分方程式、非線形方程式、数値的な解の意味］
質問 序章ｐ．３ ４〜７行目
「大気中の運動は、連立偏微分方程式で十分精度良く記述できる。ところが、
その方程式は数学で言う非線形方程式なので、解析的解を求めるのは困難である。
しかし計算機で数値的な解を求める事が出来る」
連立偏微分方程式、非線形方程式、数値的な解
-------- ----------- ------------ ------------------ 解答
いずれも数学上の用語です。下記カッコ内に対応・対立する世界の用語を記載しました。
どこから説明を開始すればよいかは、何が分からないのかによりますので、質問書のおもて
だけからは判断できかねますが、、、、
偏微分方程式（ｖｓ 常微分方程式）
・物体・流体の状態を表現するために、未知数（ｕｖｐｔρなど）が
独立変数（ｘｙｚｔ）の関数として、微分方程式であらわされるとき、
ある特定方向の傾度（微分のこと）をあらわそうとする式です。
・気象の予想を行うためには、大気の状態を数式モデル化しますが、その数式は、
大気塊の運動の状態や、質量の保存、水蒸気の保存など偏微分方程式で表現されます。
非線形方程式（ｖｓ 線形方程式）
・この質問のポイントは線形・非線形の用語にあると考えられます。
・線形とは「加法」の概念が適用できる状態を言います。
非線形とは、線形でないものを言います。−−−＞乗法の世界と言ってもよいでしょう。
・時間外挿して数時間先の気象予想をするのは、線形の性質を利用したものです。
速度に状態量の場の傾きを乗じたもの（移流といいます）は、非線形です。
（なお、乗法を加法の世界へ橋渡しするのが、指数・対数です）
数値的な解 （ｖｓ 解析解）
・方程式の解は、例えば、中高校で習った二次方程式の根のようなものが解析解です。
・微分方程式の解は、通常は数値解を求めることが出来ないため、近似的に求めます。
・気象のプリミテイブ方程式系は（偏）微分方程式であるため、解析解がなく、従って
差分法を使っての近似計算が用いられています。
・この近似のゆえに、即ち解析解ではない（厳密解と言えない）ので、
時間経過とともに誤差が増大し、予報精度の問題が生じる一因となっています。
参考：プリミティブ方程式：
１．大気の運動方程式(水平方向)（Ｘ方向、Ｙ方向）
流体力学のＮａｖｉｅ−Ｓｔｏｋｅｓの方程式のまま。
δｕ／δｔ＝−（ｕδｕ／δｘ＋ｖδｕ／δｙ＋ｗδｕ／δｚ）
＋２Ωｓｉｎφｖ−δｐ／ρδｘ＋Ｆ
δｖ／δｔ＝−（ｕδｖ／δｘ＋ｖδｖ／δｙ＋ｗδｖ／δｚ）
＋２Ωｓｉｎφｕ−δｐ／ρδｙ＋Ｆ
大気の運動方程式(鉛直方向)（静力学平衡）
０＝ーδｐ／ρδρ−ｇ
２．連続の式（質量保存則）
δρ／δｔ＝−（ｕδρ／δｘ＋ｖδρ／δｙ＋ｗδρ／δｚ）
−ρ（δｕ／δｘ＋δｕ／δｙ＋δｖ／δｚ）
３．熱力学方程式
δθ／δｔ＝−（ｕδθ／δｘ＋ｖδθ／δｙ＋ｗδθ／δｚ）＋Ｈ
４．水蒸気の輸送方程式
δｑ／δｔ＝−（ｕδｑ／δｘ＋ｖδｑ／δｙ＋ｗδｑ／δｚ）＋Ｍ
５．気体の状態方程式
Ｐ＝ρＲＴ
3/22 （追加） 「線形と非線形」と言う用語：
・ｙ＝ｘ という方程式（１）は「線形」です。
ｘがｘ１、Ｘ２の時、Ｙは Ｙ１＝ｘ１、Ｙ２＝Ｘ２ となる（２）。
次に、ｘとして、加算した Ｘ１＋Ｘ２ の値を もとの Ｙ＝Ｘ の式へ 代入したときの
Ｙの値が、Ｘ１＋Ｘ２ となれば、もとのＹ＝Ｘの式（１）は「線形である」と言います。
・ｄ２Ｙ／ｄＸ２＝−Ｙ の式（３）は「線形」の微分方程式です。
この式の解は、２つあり、 Ｙ１＝ｓｉｎｘとＹ２＝ｃｏｓｘです。
この二つの解を加えた ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ も、もとの式の解となっています。このように
解を重ね合わせてももとの式の解になる様な微分方程式を、「線形」の微分方程式と言います。
・加算しても以上のようにならないとき、その式は「非線形」であるといいます。
グラフで描くと「曲線」になるような式をイメージすれば、それｇａ［非線形］と考えて
良いでしょう。
・要するに、ものごとを、直線で表し得ない場合「非線形」と言う様です。
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